Afleiding formule van Sabine

De formule van Eyring

Eyring vertrekt van de idee dat een vlakke geluidgolf een traject beschrijft door een zaal met vlakke begrenzingsvlakken. Tijdens dit traject treedt energieverlies op door demping tijdens de voortplanting in de lucht en door absorptie bij de weerkaatsing aan de begrenzingsoppervlakken.

Het energieverlies bij voortplanting beschrijven we als:

$I(t)\ =\ I_0\ e^{-mx}$

met m een dempingsconstante en x de afgelegde weg.

Het verlies door de weerkaatsingen gedurende een tijd t beschrijven we als: $(1-\overline \alpha)^n$ , waarbij n het aantal weerkaatsingen is gedurende de tijd t en gelijk is aan: $\frac{ct}{\overline l}$ . $\overline l$ is de verwachte waarde van de vrije weglengte of de gemiddelde afstand tussen twee weerkaatsingen. In de kinetische gastheorie wordt aangetoond dat $\overline l$ gegeven wordt door: $\overline l\ =\ \frac{4V}{S}$ (V is het volume van het lokaal en S is de totale oppervlakte van de begrenzingsoppervlakken).

De intensiteit verloopt dus volgens de formule: $I(t)\ =\ I_0\ (1-\overline \alpha)^{\frac{ctS}{4V}}\ e^{-mct}$

Op basis hiervan berekende Eyring de nagalmtijd: $T=\frac{0,16\ V}{4\ m\ V-S\ \ln(1-\overline\alpha)}$

De formule van Sabine

Voor lage waarden van de absorptiecoëfficiënt kan men zich in de reeksontwikkeling van ln(1- $\overline\alpha$ ) beperken tot de eerste term. Op die manier vinden we de formule van Sabine:

$T=\frac{0,16\ V}{A+4\ m\ V}$

met A de totale absorptie = Sa_iS_i