dochters

   level

  de mra-grid                   

Wat zijn Wavelets en waarom Wavelets ?

De klassieke Fourieranalyse gebruikt als basissignalen de harmonische signalen .Een grootte van een fouriercoëfficient vertelt ons infeite in welke mate een gegeven signaal lijkt op een bepaalde harmonische componente.

Vermits echter dit laatste signaal oneindig lang is gaat elke tijdslocatie ,voor het geval het gegeven signaal eindig in duur was, verloren.Het spectrum van een signaal zegt niets over het tijdstip van begin en einde van dit signaal. Short Time Fourier tracht hieraan te verhelpen maar hanteert voor de tijdparameter een constante resolutie zodat zeer korte signalen toch nog niet adequaat geanalyseerd zullen worden.

maar met voorts in vele opzichten dezelfde merkwaardige eigenschappen als de harmonische signalen  nl zij vormen een volledig stel signalen waarin elk ander signaal kan ontbonden worden en bovendien kunnen zij orthogonaal worden gemaakt zodat invertering van de ontbinding eenvoudig is.Stellen wij de wavelets voor door W(x) dan geldt inderdaad

<W(2ⁿ.x-k),W(2^m.x-s)> = d_n,m.d_k,s

_{de brackets hebben de betekenis van een scalair product net zoals bij de Fourierontwikkelingen.}

De Basisbetrekkingen

Een signaal f(x) kan ontbonden worden  in een reeks van wavelets vertrekkend van de moederwavelet W(x).

bemerk hierin de gelijkspanningcoëfficient Ao .De coëfficienten Aj,k vormen het waveletspectrum en kunnen in een normaal spectrumdiagramma serieel worden afgebeeld :

figuur :   het waveletspectrum ééndimensionaal uitgezet

De dochters hiervan worden voorgesteld door

De parameter k is duidelijk een verschuiving in x over k eenheden dus heeft hij betrekking op een positionering. De parameter j wordt de niveauparameter genaamd ( level-parameter). De betekenis van deze parameter wordt duidelijk als men de functie W(x) , nl de moederwavelet, afbeeldt naast de dochter  j=1 nl W(2.x) .Het is overduidelijk dat deze laatste een compressie is met een factor 2 van de moeder. Het spectrum van de dochter ligt dan ook een octaaf hoger dan deze van de moeder vandaar dat de niveauparameter ook overeenkomt met frequentieband .Een verhoging van de niveauparameter j met één eenheid betekent een octaafverhoging.

De waveletcoëfficienten  kunnen door de orthogonaliteitseigenschap gemakkelijk gevonden worden :

A_j,k = <f(x),W(2^j.x-k)>

maar worden in praktijk berekend met het pyramidiale algoritme van Mallat

De M.R.A ( multi resolutie analyse,vb wavelets ) en zijn grafische voorstelling

You cannot beat the Heisenberg Uncertainty , dus gaat men ze omzeilen door alle tijdsresoluties te gebruiken.Inderdaad zoals wij vroeger gezien hebben bestaat er een verband tussen de tijdsduur van een signaal en de bandbreedte van zijn spectrum.Meestal wordt dit geschreven als

Voor harmonische signalen is Dt gelijk aan oneindig zodat de bandbreedte bij de klassieke Fourieranalyse nul is en dus een zeer goede resolutie vertoont in het spectrum.Bij STFT neemt men echter een vaste tijdsresolutie gegeven door de lengte van een opname T zoals wij weten geeft dit ook een vaste resolutie in frequentie nl fs/N waar fs de samplingfrequentie is en N het aantal punten in de opname .

Bij MRA ( vb. de waveletanalyse) neemt men variabele tijdsresoluties. Men begint met een gelijk aan de lengte van een moederwavelet die altijd kan gelijk gemaakt worden met de lengte van de opname.Dan wordt de moederwavelet gecomprimeerd  tot dochters met de halve lengte /2 ,de bandbreedte van deze dochters ( er zijn er twee want een dochter kan verschoven worden zoals in W(2.x-1) ) is tweemaal groter dan deze van de moeder. Dan neemt men  tweede-generatie dochters W(4x),W(4x-1),W(4x-2),W(4x-3) , zij behoren tot niveau 2, die elk een bandbreedte hebben gelijk aan 4-maal deze van de moeder enz....

Als men deze opdeling grafisch uitzet in een tijdsas en een niveau-as dan krijgt men het volgende gridpatroon waarin de resoluties , of beter het omgekeerde van dit begrip nl de schalen zowel in tijd als in frequentie duidelijk zijn:

In deze grid gaat men nu de waveletcoëfficienten afbeelden met een kleurcode net zoals in een sonogram. Een voorbeeld ziet u hieronder waar een signaal wordt gebruikt waarin een kras zit. De MRA ontbinding detecteert duidelijk deze kras op de juiste positie , zie onderstaande figuur.