afleiding vergelijkingen dubbele wanden

Loodrechte inval

We gaan eerst uit van een eenvoudig geval: loodrechte inval van de geluidgolf op de dubbele wand.
Zoals voor enkelvoudige wanden kunnen we een aantal vergelijkingen noteren die een verband opleveren tussen de verschillende dynamische parameters.

Op de hiernaast afgebeelde figuur zijn de verschillende parameters van het systeem voorgesteld.

p₁ : totale druk aan de zendzijde
p₂ : druk in de luchtspouw
p₃ : druk aan de ontvangzijde
v₁ : snelheid van het paneel (massa m"₁) aan de zendzijde
v₂ : snelheid van het paneel (massa m"₂) aan de ontvangzijde
d : de dikte van de spouw

Vergelijkingen:

p₁₊ is de golf die invalt op wand 1.
p_1- is de golf die wordt gereflecteerd op wand 1.
p₁ is de totale druk aan de zendzijde en is de som van p₁₊ en p_1-.

$\begin{eqnarray*}\underline p_3\ & = & \ \rho c\ \underline v_2\ ; \\ \underline p_2\ -\ \underline p_3\ & = & \ j\omega m''_2\ \underline v_2\ ; \\ \underline v_1\ -\ \underline v_2\ & = & \ \frac{jkd}{\rho c}\ \underline p_2\ ; \\ \underline p_1\ -\ \underline p_2\ & = & \ j\omega m''_1\ \underline v_1\ ; \\ \underline p_1\ & = & \ \underline p_{1+}\ +\ \underline p_{1-}\ ; \\ \rho c\ \underline v_1\ & = & \ \underline p_{1+}\ -\ \underline p_{1-}\ . \end{eqnarray*}$

Uit deze vergelijkingen bepalen we het verband tussen de invallende druk p₁₊ en de doorgelaten druk aan de ontvangzijde p₃.

$\underline p_{1+}\ =\ \underline p_3\{1\ +\ \frac{j\omega\ (m''_1+m''_2)}{2\rho c}\ +\ \frac{j\omega d}{2c}\ (1\ +\ \frac{j\omega\ m''_1}{\rho c})(1\ +\ \frac{j\omega\ m''_2}{\rho c})\}$ of

$\underline p_{1+}\ =\ \underline p_3\{[1\ -\ \frac{\omega^2 d}{2\rho c}\ (m''_1\ +\ m''_2)]\ +\ j[\frac{\omega\ (m''_1\ +\ m''_2)}{2\rho c}\ +\ \frac{\omega d}{2d}\ -\ \frac{\omega^3 d\ m''_1\ m''_2}{2\rho^2c^3}]\}$ (1)

We kunnen aantonen dat de tweede term van het imaginaire deel verwaarloosbaar is t.o.v. de andere delen. In die veronderstelling berekenen we dat het imaginaire deel gelijk wordt aan nul voor een frequentie gegeven door: $\omega_0\ =\ \sqrt{\frac{\rho c^2}{d}\ [\frac{1}{m''_1}\ +\ \frac{1}{m''_2}]}$ .

Behalve in het gebied rond deze frequentie overweegt het imaginaire deel t.o.v. het reële deel. De vergelijking (1) kunnen we dus vereenvoudigen tot:

$\underline p_{1+}\ =\ \underline p_3\ j\ [\frac{\omega\ (m''_1\ +\ m''_2)}{2\rho c}\ +\ \frac{\omega d}{2c}\ -\ \frac{\omega^3\ d\ m''_1\ \ m''_2}{2\rho^2c^3}]$ (2).

We beschouwen nu drie gebieden, nl. voor frequentie beneden w₀, rond w₀ en boven w₀.

Gebied w « w_0:

De eerste term in vergelijking (2) overweegt in dit gebied. We kunnen de vergelijking (2) dan nog verder vereenvoudigen tot:

$\underline p_{1+}\ =\ \underline p_3\ j\ [\frac{\omega\ (m''_1\ +\ m''_2)}{2\rho c}]$ .

Gebied w = w_0:

Het imaginaire deel wordt gelijk aan 0. Dan geldt:

$\underline p_{1+}\ =\ \underline p_3\ [1\ -\ \frac{\omega_0^2 d}{2\rho c^2}\ (m''_1\ +\ m''_2)]$ of $\underline p_{1+}\ =\ \underline p_3\ [ -\ \frac{1}{2}\ (\frac{m''_1}{m''_2}\ +\ \frac{m''_2}{m''_1})]$ .

Gebied w » w_0:

De derde term in vergelijking (2) overweegt en we krijgen dus:

$\underline p_{1+}\ =\ \underline p_3\ [-j\ \frac{\omega^3\ d\ m''_1\ m''_2}{2\rho^2 c^3}]$ .

De overeenstemmende geluidisolatie wordt:

$\begin{eqnarray*}R\ & = &\ 20\ \log\ \frac{\omega^3\ d\ m''_1\ m''_2}{2\rho^2 c^3}\ \\ & = & \ 20\ \log\ \frac{\omega\ m''_1}{2\rho c}\ +\ 20\ \log\ \frac{\omega\ m''_2}{2\rho c}\ +\ 20\ \log\ \frac{2\omega d}{c}\ .\end{eqnarray*}$

Schuine inval

De dynamische evenwichten worden nu opgesteld voor de snelheidscomponenten in de richting loodrecht op de wand. Rekenkundig komt dit neer op het vervangen van Z door Z/cos(q).
Bij de volgende berekeningen wordt de spouwbreedte veel kleiner dan de golflengte verondersteld.

Vergelijkingen:

Op basis van het kinematisch evenwicht kunnen we schrijven:
$\begin{eqnarray*}- div\ \underline v\ &=&\ \frac{1}{K}\ \frac{\partial \underline p_2}{\partial t}\\ \downarrow\\ -\frac{\underline v_2\ -\ \underline v_1}{d\ \cos\ \theta}\ &=&\ \frac{1}{K}\ \frac{\partial \underline p_2}{\partial t}\\ \downarrow\\ -(\underline v_2\ -\ \underline v_1)\ &=&\ \frac{jkd\ \cos\ \theta}{\rho\ c}\ \underline p_2\end{eqnarray*}$
De zijdelingse koppeling in de spouw werkt dus verstijvend.
De resonantiefrequentie neemt dus toe met 1/cos(q) en is gegeven door $f_0(\theta)\ =\ f_0\ \frac{1}{\cos(\theta)}\ =\ \frac{60}{\cos\ \theta\ \sqrt{d}}\ \sqrt{\frac{1}{m_1''}\ +\ \frac{1}{m_2''}}$ .

De afleiding van de vergelijkingen voor schuine inval gebeurt dan op dezelfde manier als voor loodrechte inval.

auteurs: Prof. Gerrit Vermeir
ir. Veerle Meerbergen

not reviewed

gewijzigd op 21/09/00

Loodrechte inval

Vergelijkingen:

Gebied w « w0:

Gebied w = w0:

Gebied w » w0:

Schuine inval

Vergelijkingen:

Gebied w « w_0:

Gebied w = w_0:

Gebied w » w_0: