De analogie met een massa-veer systeem

Het gedrag van een verliesloze Helmholtz resonator is analoog aan andere elementaire resonatoren zoals een massa-veer systeem of een elektrisch netwerk met een inductiespoel en een capaciteit. De analogie met een massa-veer systeem is fysisch eenvoudig in te zien aan de hand van het videofragment.

Bestudeer eerst de resonator. Zowel de geluidsdruk als de deeltjessnelheid worden weergegeven in een doorsnede. De deeltjessnelheid wordt weergegeven door de pijltjes en de geluidsdrukdistributie door de kleur. Hoge positieve drukken zijn rood, en de grote negatieve drukken zijn blauw. Controleer op de video dat

	de significante deeltjessnelheden vooral optreden in de omgeving van de resonatorhals;
	de geluidsdruk toeneemt in het resonatorvolume wanneer de luchtmassa van de hals in het resonatorvolume stroomt; en
	de geluidsdruk afneemt in het resonatorvolume waneer de luchtmassa van de hals naar buiten vloeit.

Hieruit kan men besluiten dat de luchtmassa in de resonatorhals heen en weer trilt met als drijvende kracht het samendrukken en expanderen van het gas in het resonatorvolume. Dit is analoog aan de werking van een verliesloos massa-veer systeem. De veer wordt samengedrukt door de massa die naar beneden komt. Door de toenemende opwaartse kracht van de veer op de massa, vermindert de snelheid van de massa, komt ze tot stilstand en begint ze met een toenemende snelheid naar boven te bewegen. De veer wordt wanneer de massa voorbij het evenwichtspunt komt, uitgerokken en oefent van dan af een neerwaartse kracht uit op de massa. Deze zal op haar beurt de massa tot stilstand brengen en haar weer naar beneden doen versnellen.

In onderstaande figuur staan de belangrijkste kwantitatieve parameters van de resonator voorgesteld. Men onderscheidt:

	l als de lengte van de resonatorhals;
	S als de oppervlakte van een sectie doorheen resonatorhals;
	V als het volume van de resonator.

reso_met_symb.jpg (27894 bytes)

De analogie tussen de Helmholtzresonator en het massa-veer systeem wordt weergegeven in de onderstaande tabel.

Helmholtz resonator	massa-veer systeem
de luchtmassa in de resonatorhals (=rl'S)	de massa ( = m)
de veerconstante van de luchtmassa in het volume ( = rc²S²/V)	de veerconstante ( = k)
de krachtwerking van de over- en onderdruk in het volume op de luchtmassa in de resonatorhals	de krachtwerking van de veer op de massa
de gemiddelde verplaatsing van de luchtmassa in de flessenhals	de verplaatsing van de massa
de gemiddelde akoestische snelheid van de lucht in de resonatorhals	de snelheid van de massa (= v)

(r staat voor de dichtheid van lucht en c voor de snelheid van het geluid)

Bemerk dat de massa van de Helmholtzresonator niet enkel bestaat uit de massa van de luchtmassa in de resonatorhals (zijnde rlS) maar eveneens bijdragen bevat uit het instroom en uitstroomgebied van de resonatorhals. Deze bijdragen zitten vervat in de effectieve lengte l_eff van de resonatorhals. Het verschil tussen beiden hangt af van de vorm van de resonatorhals. Voor een cilindervormige resonatorhals met straal a kan men bewijzen dat :
$l_{eff} = l+\frac{16a}{3\pi}.$
Voor de verklaring van de resonatorwerking wordt nergens beroep gedaan op golffenomenen. Dit hangt samen met het feit dat een Helmholtz resonator klein is ten opzichte van de golflengte die correspondeert met zijn resonatiefrequentie. Hierdoor treden de effecten eigen aan het golfkarakter niet expliciet op.

De resonantiefrequentie van een verliesloze resonator

Wanneer een geluidsimpuls wordt aangelegd aan de ingang van een Helmholtzresonator zal deze natrillen met de resonantiefrequentie. Deze resonantiefrequentie hangt naar analogie met het massa-veersysteem af van de grootte van de luchtmassa in de resonatorhals en de stijfheid van de luchtmassa in het volume en wordt gegeven door
$f_{res} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.$
Op basis van deze analogie kan men de resonantiefrequentie berekenen als functie van de belangrijkste parameters van een Helmholtzresonator. Dit resulteert in
$f_{res} = \frac{c}{2\pi}\sqrt{\frac{S}{l_{eff}V}}.$
Met behulp van deze relatie kan men een resonator optimaliseren voor specifieke toepassingen.

Opdrachten

In de experimenteerruimte kan men de afhankelijkheid van de resonatiefrequentie voor de verschillende parameters grondig bestuderen. Gebruik hiervoor de geïsoleerde resonator configuratie en bestudeer amplitudespectrum van p_i /p_o. De resonatiefrequentie vindt men terug op het maximum van het spectrum.

	Controleer de afhankelijkheid van deze frequentie voor de verschillende parameters van de resonator.
	Bereken de golflengte die hoort bij de resonantiefrequentie en vergelijk die met de dimensies van de resonator.
	Bestudeer of de resonatiefrequentie afhangt van verliesmechanismen in de resonator (R en n).

	auteurs: Dick Botteldooren, John De Poorter, Pieter Vandaele	gewijzigd op 11/30/99
	reviewer: not reviewed