modes in een rechthoekige buis

modes in een rechthoekige buis - uitwerking

Opdat een golf zich in een buis zou kunnen voortplanten, moeten bepaalde voorwaarden voldaan zijn.

Het geluidveld moet voldoen aan de golfvergelijking:

$\frac{D^2p}{D\,t^2}\,=\,c^2\,\nabla^2p$

De randvoorwaarden moeten voldaan zijn aan de wanden van de buis.

De geluidgolven die zich door de buis voortplanten geven samen met de golven die ontstaan door reflectie op de wanden aanleiding tot allerlei interferentiepatronen. Dit ingewikkeld drukverloop kan opgesplitst worden in een aantal modes. Er zijn a priori oneindig veel zo'n modes mogelijk, maar bij een gegeven frequentie kunnen slechts een eindig aantal daarvan zich in de buis voortplanten.

Beschouw een buis die in de x-richting oneindig uitgestrekt is, maar begrensd is op y = 0 en l_y en z = 0 en l_z

We nemen aan dat het medium in de buis homogeen is en dat het globaal gezien niet in beweging is. De tweede orde afgeleide naar de tijd in de golfvergelijking kan dan vervangen worden door een tweede orde partiële afgeleide. Het geluidveld in de buis moet dus voldoen aan:

$\frac{\partial^2p}{\partial\,t^2}\,=\,c^2\,\nabla^2p$

(1)

Aangezien deze vergelijking lineair is in p(x,y,z,t) met coëfficiënten die alleen functie zijn van de ruimtecoördinaten, moeten we geen algemeenheid inboeten als we Fouriertransformatie naar de tijd uitvoeren. We stellen vervolgens p voor als een product van 4 functies die elk maar van 1 variabele afhangen, zodat:

p(x,y,z,t) = X(x) Y(y) Z(z) exp(iw t)

(2)

waarbij w de radiale frequentie van de excitatie is. Uit vergelijking (1) en (2) volgt:

$\frac{\,1}{X}\,\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{\,1}{Y}\,\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{\,1}{Z}\,\frac{d^2Z}{dz^2} + k^2 = 0$

(3)

waarbij de eerste factor enkel van x, de tweede enkel van y, de derde enkel afhankelijk van z is en k² = (w / c)². We kunnen elke richting afzonderlijk bestuderen, gebruik makend van de constanten -k_x², - k_y², -k_z ². We hebben dan (1 / X)(d ²X / dx²) = - k_x² en analoog voor y en z. Opdat vergelijking (3) voldaan zou zijn moet de volgende betrekking gelden:

k² = k_x² + k_y² + k_z ²

We kunnen dus een vector golfgetal k definiëren met componenten k_x, k_y, k_z en X(x) bepalen uit de differentiaalvergelijking d²X / dx² + k_x²X = 0.

X(x) = A⁺ exp(-i k_x x) + A^- exp( i k_x x)

A⁺(resp. A^-) corresponderen met de complexe amplitudes van de samenstellende golven die in de positieve (resp. negatieve) richting van de x-as propageren. Analoog vinden we:

Y(y) = C₁ cos(k_yy) + C₂ sin(k_yy)
Z(z) = D₁ cos(k_z z) + D₂ sin(k_z z)

Randvoorwaarden

Aangezien we kunnen aannemen dat de wanden van de buis akoestisch hard zijn, is de verplaatsing van het deeltje loodrecht op de wanden nul. Dit kan in verband gebracht worden met de druk doordat het dynamisch equilibrium (vergelijking van Eulers) moet voldaan zijn. Dus:

$\rho \, \frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial y}\, \, \, \rm{of}\,\,\, v = \left(-\frac{1}{i\omega \rho}\right)\left(\frac{\partial p}{\partial y}\right)$

(4)

waarbij v de deeltjessnelheid in de y-richting is. En analoog voor z met w de deeltjessnelheid in de z-richting.

De harde-wand randvoorwaarden zijn dus te schrijven als:

$\frac{\partial p}{\partial y} = 0$ \,\,\rm{als}\,\,$ y=0,l_y $ \,\,\,\,\rm{en}\,\,\,\, $\frac{\partial p}{\partial z}=0 $\,\,\rm{als}\,\,$ z=0,l_z$

Substitutie van de oplossingen voor Y(y) en Z(z) in de randvoorwaarden geeft: C₂ = D₂ = 0, k_y = mp/l_y , k_z = mp/l_z met m, n = 0, 1, 2, ...

Als we dit allemaal substitueren in (2) krijgen we

$p(x,y,z,t) = A^+_{mn} \,cos\left(\frac{m\pi y}{l_y}\right)\,cos\left(\frac{n\pi z}{l_z}\right).exp\left[i(\omega t - k_{x,mn}x)\right]$

(5)

met k²_x,mn = k² - ( mp / l_y ) ² - ( np / l_z )² en A^⁺_mnde amplitude.

Een mode met orde m,n zal slechts propageren indien k²_x,mn > 0. In het andere geval wordt k_x,mn zuiver imaginair waardoor de mode exponentieel afneemt in de x-richting. De frequentie waarvoor k²_x,mn noemt men de afsnijfrequentie van de m,n-de mode.

De golf propagatie in de tegenstelde richting (negatieve x) wordt beschreven door de factor A⁺exp[i(wt - k_xx)] door A^{^-}exp[i(wt + k_xx)] te vervangen in vergelijking (5).

	auteurs: Dick Botteldooren, John De Poorter, Pieter Vandaele	gewijzigd op 09/27/00
	reviewer: not reviewed