Bij een buigstijve wand zal de dynamische vervorming aanleiding geven tot het ontstaan van een buiggolf op de wand.  Voor een oneindig uitgestrekte, homogene en isotrope plaat voldoet de buiggolf aan het volgend dynamisch evenwicht:
$-B\ \frac{\partial^4 v__N}{\partial x^4} = m'\ \frac{\partial^2 v__N}{\partial t^2}$         (1)
Voor harmonische excitatie wordt deze vergelijking: $\frac {\partial^4 \underline v__N}{\partial x^4} = \frac{\omega^2 m'}{B}\ \underline v__N$.        (2)
Een sinusoïdale buiggolf voldoet aan de bovenstaande vergelijking als zijn buiggolfgetal kB voldoet aan ${k^4}_B = \frac {\omega^2 m'}{B}$.        (3)
De voortplantingssnelheid cB (kB = w /cB) is dus frequentieafhankelijk en wordt gegeven door: $c_B = ^4\sqrt\frac {B}{m'}\ \sqrt\omega$.        (4)

Dynamisch evenwicht

 Het dynamisch evenwicht, zoals opgesteld bij de afleiding van de geluidisolatie van wanden zonder buigstijfheid, wordt hier dus aangevuld met een term die de elastische terugstelkracht beschrijft.  Deze term kan worden afgeleid uit vergelijking (2):

$j\omega m''\ \underline v__N = j\ \frac{B'}{\omega}\ \frac{\partial^4\underline v__N}{\partial x^4}$         (5)
Het globaal dynamisch evenwicht wordt zo: $\underline p_1 - \underline p_2 + j\frac{B'}{\omega}\ \frac{\partial^4\underline v__N}{\partial x^4} = j\omega m''\ \underline v__N$.
vN is de gedwongen bewegingssnelheid, opgelegd door het invallend geluidveld en heeft dus de vorm e±jw x sinq /c.  Zo vinden we:
$\underline p_1 - \underline p_2 = \underline T\ \underline v__N$ met $\underline T = j\omega m'' - j \frac{B'\ \omega^3 \sin^4\theta}{c^4}$.
Men kan T ook schrijven als: $\underline T = j\omega m''(1 - [\frac{c_B\sin\theta}{c}]^4)$.
De geluidisolatie van de wand kunnen we nu schrijven als: $R = 10\ \log\{1+ \{\frac{\omega m''}{2Z}\ [1 - [\frac{c_B\ \sin\theta}{c}]^4]\}^2\}$.
We merken op dat de weerstand van de muur wegvalt (R = 0) wanneer cB = c/sinq.  Geometrisch betekent dit dat het 'spoor' van de invallende golf op de plaat zich voortplant met de voortplantingssnelheid van een zich vrij voortplantende buiggolf bij dezelfde frequentie.  Dit fenomeen noemt men coïncidentie of spooraanpassing.
De laagste frequentie waarbij dit fenomeen zich kan voordoen, noemt men de grensfrequentie (c = cB).
$f_{gr} = \frac{c^2}{2\pi} \sqrt\frac{m'}{B}$

Demo's

© Laboratorium Bouwfysica, K.U.Leuven